Question

9．已知F₁、F₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，過一焦點(diǎn)引∠F₁PF₂的外角平分線的垂線，垂足為A．若|OA|=2b，則該橢圓的離心率e為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 延長F₁P，與F₂A的延長線交于M點(diǎn)，連接AO，根據(jù)等腰三角形“三線合一”和三角形中位線定理，結(jié)合橢圓的定義證出OA的長恰好等于橢圓的長半軸a，即a=2b，運(yùn)用a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意，延長F₁P，與F₂A的延長線交于M點(diǎn)，連接AO，
由PA是∠F₂PM的平分線，且PA⊥MF₂；
可得△F₂MP中，|PF₂|=|PM|且A為MF₂的中點(diǎn)，
由三角形中位線定理，得|OA|=$\frac{1}{2}$|MF₁|=$\frac{1}{2}$（|MP|+|PF₁|）
由橢圓的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a，（2a是橢圓的長軸），
可得|MP|+|PF₁|=2a，
即有|OA|=$\frac{1}{2}$（|MP|+|PF₁|）=a，
由|OA|=2b，可得a=2b，即b=$\frac{1}{2}$a，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的離心率的求法，著重考查了橢圓的定義、等腰三角形的判定和三角形中位線定理等知識，屬于中檔題．