Question

如果函數(shù)y=f₁（x）≥0和y=f₂（x）≥0在區(qū)間D上都是增函數(shù)，那么函數(shù)y=

f1(x)

+

f2(x)

在區(qū)間D上也是增函數(shù)，現(xiàn)設f（x）=

x- 1 x

+

1- 1 x

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域
（2）求函數(shù)f（x）的值域
（3）若x₀=f（x₀），求x₀的值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）使函數(shù)f（x）有意義即可求得f（x）的定義域為[-1，0）∪[1，+∞）；
（2）設f1(x)=x-

1

x

，f2(x)=1-

1

x

，通過求導，容易判斷函數(shù)f（x）在[-1，0），[1，+∞）上單調遞增，所以根據已知條件記得f（x）在[-1，0），[1，+∞）上單調遞增，根據單調性即可求得f（x）的值域[0，+∞）；
（3）由（1）（2）即可知道x₀≥1，并得到方程x0=

x0- 1 x0

+

1- 1 x0

，通過兩邊平方去根號的方法解該方程即可．

解答： 解：（1）要使f（x）有意義，則：

x- 1 x ≥0 1- 1 x ≥0

，解得：
-1≤x＜0，或x≥1；
∴f（x）的定義域為[-1，0）∪[1，+∞）；
（2）設f1(x)=x-

1

x

，f2(x)=1-

1

x

；
∴f′1(x)=1+

1

x2

＞0，f′2(x)=

1

x2

＞0；
∴f₁（x），f₂（x）在[-1，0），和[1，+∞）上都為增函數(shù)；
∴根據已知條件知，f（x）在[-1，0），[1，+∞）上為增函數(shù)；
∵x∈[-1，0），x趨向0時，-

1

x

趨向正無窮，∴f（x）趨向正無窮；x∈[1，+∞），x趨向正無窮時，x趨向正無窮，∴f（x）趨向正無窮；
∴f（x）≥

2

，或f（x）≥0；
∴f（x）≥0；
∴f（x）的值域為[0，+∞）；
（3）根據f（x）的定義域和值域，知x₀≥1；
x0=

x0- 1 x0

+

1- 1 x0

；
∴x0-

1- 1 x0

=

x0- 1 x0

，兩邊平方并整理得：
x02-x0+1=2

x02-x0

，兩邊平方并整理得，(x02-x0-1)2=0；
∴x02-x0-1=0，x₀≥1；
∴解得x0=

1+ 5

2

．

點評：考查函數(shù)定義域、值域的定義及求法，函數(shù)導數(shù)符號和函數(shù)單調性的關系，根據函數(shù)的單調性求函數(shù)的值域，以及兩邊平方去根號的方法解無理方程．