【題目】設(shè)直線y=t與曲線C:y=x(x﹣3)2的三個(gè)交點(diǎn)分別為A(a,t),B(b,t),C(c,t),且a<b<c.現(xiàn)給出如下結(jié)論:
①abc的取值范圍是(0,4);
②a2+b2+c2為定值;③a+b+c=6
其中正確結(jié)論的為_______
【答案】①②③
【解析】設(shè)y=f(x)=x(x﹣3)2=x3﹣6x2+9x,則f′(x)=3x2﹣12x+9,
令f′(x)=0,解得x=1或x=3;
當(dāng)x<1或x>3時(shí),f′(x)>0,當(dāng)1<x<3時(shí),f′(x)<0;
∴f(x)在(﹣∞,1)上是增函數(shù),在(1,3)上是減函數(shù),在(3,+∞)上是增函數(shù);
當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極大值f(1)=4,當(dāng)x=3時(shí),f(x)取得極小值f(3)=0;
作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示:
∵直線y=t與曲線C:y=x(x﹣3)2有三個(gè)交點(diǎn),由圖象知0<t<4,①正確;
令g(x)=x(x﹣3)2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t,則a,b,c是g(x)=0的三個(gè)實(shí)根.
∴x3﹣6x2+9x﹣t=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c),
即x3﹣6x2+9x﹣t=x3﹣(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x﹣abc,
∴a+b+c=6,ab+bc+ac=9,abc=t,③正確;
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ac)=18,∴②正確;
綜上,正確的命題序號(hào)是①②③.
故答案為:①②③.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中, 為常數(shù), 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設(shè)曲線在處的切線為,當(dāng)時(shí),求直線在軸上截距的取值范圍.
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【題目】如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn),且EF=,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A. AC⊥BE
B. EF∥平面ABCD
C. 三棱錐A-BEF的體積為定值
D. △AEF的面積與△BEF的面積相等
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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是,點(diǎn)在橢圓上, 是等邊三角形.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)點(diǎn)在橢圓上,線段與線段交于點(diǎn),若與的面積之比為,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等,記點(diǎn)的軌跡為.
(Ⅰ)求得方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)在曲線上, 軸上一點(diǎn)(在點(diǎn)右側(cè))滿足.平行于的直線與曲線相切于點(diǎn),試判斷直線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.
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【題目】已知函數(shù),
(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;
(2)若不等式的解集為空集,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=,an+1-an+an-1=0 (n≥2,且n∈N*),若數(shù)列{an+1+λan}是等比數(shù)列.
(1)求實(shí)數(shù)λ;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè),求證: .
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【題目】將邊長(zhǎng)為的正方形(及其內(nèi)部)繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,如圖, 長(zhǎng)為, 長(zhǎng)為,其中與在平面的同側(cè).
(1)求三棱錐的體積;
(2)求異面直線與所成的角的大小.
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【題目】一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān), 現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表:
溫度x/C | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè) | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
經(jīng)計(jì)算得: , , , ,
,線性回歸模型的殘差平方和,e8.0605≈3167,其中xi, yi分別為觀測(cè)數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù),i=1, 2, 3, 4, 5, 6.
(Ⅰ)若用線性回歸模型,求y關(guān)于x的回歸方程=x+(精確到0.1);
(Ⅱ)若用非線性回歸模型求得y關(guān)于x的回歸方程為=0.06e0.2303x,且相關(guān)指數(shù)R2=0.9522.
( i )試與(Ⅰ)中的回歸模型相比,用R2說明哪種模型的擬合效果更好.
( ii )用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為35C時(shí)該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).
附:一組數(shù)據(jù)(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計(jì)為
=;相關(guān)指數(shù)R2=.
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