Question

14．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^4}+k{x^2}+1}}{{{x^4}+{x^2}+1}}\;（k＞1）$，若對任意三個實數(shù)a，b，c（可以相同），存在一個三角形，其三邊長為f（a），f（b），f（c），則k的取值范圍是（1，4）．

Answer 1

分析 化簡f（x），根據(jù)基本不等式的性質(zhì)確定f（x）的取值范圍，從而解得．

解答 解：f（x）=1+$\frac{（k-1{）x}^{2}}{{x}^{4}{+x}^{2}+1}$，
當(dāng)k＞1時，$\frac{（k-1{）x}^{2}}{{x}^{4}{+x}^{2}+1}$=$\frac{k-1}{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}+1}$，
∵x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時，等號成立）；
故1≤f（x）≤1+$\frac{k-1}{3}$，
故只需使2＞$\frac{k-1}{3}$+1，
解得，k＜4；
綜上所述，1＜k＜4，
故答案為：（1，4）．

點評 本題考查了函數(shù)的化簡以及轉(zhuǎn)化思想，同時考查了基本不等式的應(yīng)用．