Question

8．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A、B兩點，且與雙曲線在第一象限的交點為P，設(shè)O為坐標原點，若$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$（λ，μ∈R），λ•μ=$\frac{9}{64}$，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由方程可得漸近線，可得A，B，P的坐標，由已知向量式可得λ+μ=1，λ-μ=$\frac{c}$，解之可得λμ的值，由λ•μ=$\frac{9}{64}$，可得a，c的關(guān)系，由離心率的定義可得．

解答 解：雙曲線的漸近線為：y=±$\frac{a}$x，設(shè)焦點F（c，0），則
A（c，$\frac{bc}{a}$），B（c，-$\frac{bc}{a}$），P（c，$\frac{^{2}}{a}$），
因為$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$
所以（c，$\frac{^{2}}{a}$）=（（λ+μ）c，（λ-μ）$\frac{bc}{a}$），
所以λ+μ=1，λ-μ=$\frac{c}$，
解得：λ=$\frac{c+b}{2c}$，μ=$\frac{c-b}{2c}$，
又由λ•μ=$\frac{9}{64}$得：$\frac{{c}^{2}-^{2}}{4{c}^{2}}$=$\frac{9}{64}$，
解得：b²=$\frac{7}{16}$c²，
所以a²=$\frac{9}{16}$c²，
所以，e=$\frac{4}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，涉及雙曲線的離心率的求解，屬中檔題．