Question

5．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{3}$，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓E上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，如圖，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A，關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，線段PQ與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為線段CQ的中點(diǎn)，直線AD與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為B，證明：點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：2c=2$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（II）設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），可得A（-x₀，-y₀），C（x₀，0），Q（x₀，-y₀），D$（{x}_{0}，-\frac{1}{2}{y}_{0}）$．利用斜率計(jì)算公式可得k_AD=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$．直線AD的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$（x+x₀）-y₀，與橢圓方程聯(lián)立化為：$（4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}）$x²-6${x}_{0}{y}_{0}^{2}$x+9${x}_{0}^{2}{y}_{0}^{2}$-16${x}_{0}^{2}$=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其斜率計(jì)算公式可得k_PB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$．k_PA，只要證明．k_PB•k_PA=-1，即可證明點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上．

解答 解：（I）由題意可得：2c=2$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²=b²+c²，聯(lián)立解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（II）設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），則A（-x₀，-y₀），C（x₀，0），Q（x₀，-y₀），∴D$（{x}_{0}，-\frac{1}{2}{y}_{0}）$．
k_AD=$\frac{-\frac{{y}_{0}}{2}-（-{y}_{0}）}{{x}_{0}-（-{x}_{0}）}$=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$．∴直線AD的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$（x+x₀）-y₀，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}（x+{x}_{0}）-{y}_{0}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：$（4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}）$x²-6${x}_{0}{y}_{0}^{2}$x+9${x}_{0}^{2}{y}_{0}^{2}$-16${x}_{0}^{2}$=0．
∴x₁+（-x₀）=$\frac{6{x}_{0}{y}_{0}^{2}}{4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$，即x₁=x₀+$\frac{6{x}_{0}{y}_{0}^{2}}{4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$，
而y₁=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$（x₁+x₀）-y₀，∴而y₁=$\frac{{y}_{0}}{4{x}_{0}}$（$\frac{6{x}_{0}{y}_{0}^{2}}{4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$+2x₀）-y₀=$\frac{{y}_{0}^{2}-2{x}_{0}^{2}{y}_{0}}{4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$．
∴k_PB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=$\frac{\frac{{y}_{0}^{2}-2{x}_{0}^{2}{y}_{0}}{4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}-{y}_{0}}{\frac{6{x}_{0}{y}_{0}^{2}}{4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}}$=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$．
∴k_PA=$\frac{-{y}_{0}-{y}_{0}}{-{x}_{0}-{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∴．k_PB•k_PA=-1，故PA⊥PB，
∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、直線垂直與斜率的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．