Question

10．若m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$（其中m為整數(shù)），則m稱為距離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m．在此基礎(chǔ)上給出關(guān)于函數(shù)f（x）=x-{x}的四個命題：
①函數(shù)f（x）的定義域為R，值域為$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$；   ②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；            ④函數(shù)f（x）在$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$上是增函數(shù)．
則其中正確命題的序號是①④．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 顯然函數(shù)f（x）的定義域為R，再由定義確定值域；
特例，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-{$\frac{1}{2}$}=$\frac{1}{2}$，f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$-{-$\frac{1}{2}$}=$\frac{1}{2}$；
特例，f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$-{$\frac{1}{4}$}=$\frac{1}{4}$，f（-$\frac{1}{4}$）=-$\frac{1}{4}$-{-$\frac{1}{4}$}=-$\frac{1}{4}$；
當(dāng)x∈$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$時，化簡f（x）=x-{x}=x．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域為R，
∵m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$，{x}=m，
∴$-\frac{1}{2}$＜x-{x}≤$\frac{1}{2}$，
故值域為$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$；
故①正確；
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-{$\frac{1}{2}$}=$\frac{1}{2}$，f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$-{-$\frac{1}{2}$}=$\frac{1}{2}$，
故②不正確；
f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$-{$\frac{1}{4}$}=$\frac{1}{4}$，f（-$\frac{1}{4}$）=-$\frac{1}{4}$-{-$\frac{1}{4}$}=-$\frac{1}{4}$，
故③不正確；
當(dāng)x∈$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$時，f（x）=x-{x}=x，故是增函數(shù)，
故④正確；
故答案為：①④．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)用能力．