Question

3．已知f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（θ）=$\frac{6}{5}$，θ∈[0，$\frac{π}{4}$]，求cos2θ的值．

Answer 1

分析 （1）先將函數(shù)式化簡，再結(jié)合正弦曲線就單調(diào)區(qū)間；
（2）運用兩角和的余弦公式求值．

解答 解：（1）f（x）=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
要求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，只需令2x-$\frac{π}{6}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，
解得x∈[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，
即f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）；
（2）f（θ）=2sin（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，
所以，sin（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
又因為θ∈[0，$\frac{π}{4}$]，所以2θ-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
因此，cos（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
而cos2θ=cos[（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]
=cos（2θ-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（2θ-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，
即cos2θ=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變形，兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．