Question

利用函數(shù)的單調性，證明下列不等式，并通過凼數(shù)圖象直觀驗證：
（1）sinx＜x，x∈（0，π）
（2）x-x²＞0，x∈（0，1）
（3）e^x＞1+x，x≠0
（4）lnx＜x＜e^x，x＞0．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：分別構造函數(shù)，求出函數(shù)的單調性，求出函數(shù)最值，由單調性可證，并畫出函數(shù)的圖象，通過圖象直接觀察

解答： 證明：（1）令f（x）=sinx-x，x∈（0，π），
∴f′（x）=cosx-1＜0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（0，π）為減函數(shù)，
∴f（x）＜f（0）=sin0-0=0
∴sinx-x＜0，
如圖，y=sinx為藍色曲線，y=x為紅色直線，由圖可以觀察x∈（0，π），sinx＜x

（2）令f（x）=x-x²（0＜x＜1），
f（x）的圖象開口向下，對稱軸為x=

1

2

∴f（x）在（0，

1

2

]上遞增，在（

1

2

，1）上遞減，
∴x∈（0，1）時，f（x）＞f（0）=f（1）=0，
故x-x²＞0（0＜x＜1）．
如圖所示：

（3）令f（x）=e^x-1-x，
∴f′（x）=e^x-1，
令f′（x）=e^x-1=0，解得x=0，
當x＞0時，函數(shù)f（x）單調遞增，
當x＜0時，函數(shù)f（x）單調遞減，
∴當x=0時，函數(shù)有最小值，最小值為f（0）=0，
∴f（x）＞f（0），
∴e^x＞1+x，x≠0
如圖y=x+1為藍色曲線，y=e^x為紅色直線，由圖可以觀察x≠0，e^x＞1+x，

（4）設f（x）=lnx-x，
∴f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
令f′（x）=0，解得x=1，
當0＜x＜1，函數(shù)f（x）單調遞增，
當x＞1時，函數(shù)f（x）單調遞減，
∴當x=1時，函數(shù)有最大值，最大值為f（1）=-1，
∴f（x）＜f（1），
∴l(xiāng)nx＜x，
再設g（x）=e^x-x
∴g′（x）=e^x-1，
∵g′（x）=e^x-1＞0，在（0，+∞）上恒成立，
∴g（x）＞g（0）=0
∴e^x＞x，
綜上所述lnx＜x＜e^x，
如圖y=x為藍色曲線，y=e^x為紅色直線，y=lnx為藍色曲線，由圖可以觀察x＞0，lnx＜x＜e^x，

點評：本題考查函數(shù)的單調性及其應用，考查不等式的證明及函數(shù)的圖象，屬中檔題．