Question

18．如圖：已知平面ABCD⊥平面BCE，平面ABE⊥平面BCE，AB∥CD，AB=BC=4，CD=2，△BEC為等邊三角形，P是線段CD上的動點．
（1）求證：平面ABE⊥平面ADE；
（2）求直線AB與平面APE所成角的最大值；
（3）是否存在點P，使得AP⊥BD？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明平面ABE的法向量、面ADE的一個法向量垂直，即可證明平面ABE⊥平面ADE；
（2）利用向量的數(shù)量積公式，求直線AB與平面APE所成角的最大值；
（3）利用反證法證明不存在點P，使得AP⊥BD．

解答 （1）證明：∵平面ABCD⊥平面BCE=BC，在平面ABCD內(nèi)作AM⊥BC，則AM⊥平面BCE，
同理，在平面ABE內(nèi)作AN⊥BE，則AN⊥平面BCE，
∴AM∥AN，即AM，AN重合，AB⊥平面BCE，
取BE、AE中點O、F，連結(jié)OC、OF，以O(shè)為原點，
OE、OC、OF為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，
則A（-2，0，4），B（-2，0，0），$C（0，2\sqrt{3}，0）$，$D（0，2\sqrt{3}，2）$，E（2，0，0），
可得平面ABE的法向量為$\overrightarrow{OC}$=（0，2$\sqrt{3}$，0）
設(shè)面ADE的一個法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AE}=4x-4z=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{DE}=2x-2\sqrt{3}y-2z=0\end{array}\right.$可得$\overrightarrow m=（1，0，1）$
從而$\overrightarrow m•\overrightarrow{OC}=0$，平面ABE⊥平面ADE．
（2）解：設(shè)|CP|=d，則$P（0，2\sqrt{3}，d）$，設(shè)面APE的一個法向量為$\overrightarrow n=（m，n，k）$
則$\left\{\begin{array}{l}{4m-4k=0}\\{2m-2\sqrt{3}n-dk=0}\end{array}\right.$可得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{2-d}{2\sqrt{3}}$，1）．
設(shè)直線AB與面ADE所成角為θ，
則sinθ=$\frac{4}{4\sqrt{1+1+\frac{（2-d）^{2}}{12}}}$∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），所以${（sinθ）_{max}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
從而直線AB與平面APE所成角的最大值為$\frac{π}{4}$．
（3）解：由（2）知，$P（0，2\sqrt{3}，d）$，則$\overrightarrow{AP}=（2，2\sqrt{3}，d-4），\overrightarrow{BD}=（2，2\sqrt{3}，2）$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BD}=d+4=0$，d=-4＜0，故不存在點P，使得AP⊥BD．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查向量方法的運用，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．