Question

3．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足：a+b=1，則$\frac{3a}{{a}^{2}+b}$+$\frac{2b}{a+^{2}}$的最大值是（　　）

• A． 3
• B． $\frac{10}{3}$
• C． $\sqrt{10}$
• D． $\frac{2\sqrt{7}+5}{3}$

Answer 1

分析 由條件可得b=1-a，代入所求式子，可得原式=$\frac{2+a}{{a}^{2}-a+1}$，令t=a+2（2＜t＜3），則a=t-2，即有原式=$\frac{t}{{t}^{2}-5t+7}$
=$\frac{1}{t+\frac{7}{t}-5}$，再由基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：，正實(shí)數(shù)a，b滿足：a+b=1，
可得b=1-a（0＜a＜1），
則$\frac{3a}{{a}^{2}+b}$+$\frac{2b}{a+^{2}}$=$\frac{3a}{{a}^{2}-a+1}$+$\frac{2（1-a）}{a+（1-a）^{2}}$
=$\frac{3a}{{a}^{2}-a+1}$+$\frac{2-2a}{{a}^{2}-a+1}$=$\frac{2+a}{{a}^{2}-a+1}$，
令t=a+2（2＜t＜3），則a=t-2，
即有$\frac{3a}{{a}^{2}+b}$+$\frac{2b}{a+^{2}}$=$\frac{t}{（t-2）^{2}-（t-2）+1}$=$\frac{t}{{t}^{2}-5t+7}$
=$\frac{1}{t+\frac{7}{t}-5}$≤$\frac{1}{2\sqrt{7}-5}$=$\frac{2\sqrt{7}+5}{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\sqrt{7}$，即a=$\sqrt{7}$-2∈（0，1），取得最大值$\frac{2\sqrt{7}+5}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查最值的求法，注意運(yùn)用變形和基本不等式的運(yùn)用，考查化簡整理能力和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．