Question

18．函數(shù)f（x）=$\sqrt{2-4x}$+2$\sqrt{x+4}$的最大值為m，若正實數(shù)a，b滿足a+b=m，則$\frac{4}{a}$+$\frac{9}$的最小值為$\frac{25}{6}$．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）的定義域為$[-4，\frac{1}{2}]$．由y=$\sqrt{2-4x}$+2$\sqrt{x+4}$兩邊平方可得：y²=18+4$\sqrt{-4（x+\frac{7}{4}）^{2}+\frac{81}{4}}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得：y≤6，m=6．
即a+b=6．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{2-4x≥0}\\{x+4≥0}\end{array}\right.$，解得$-4≤x≤\frac{1}{2}$．
∴函數(shù)f（x）的定義域為$[-4，\frac{1}{2}]$．
由y=$\sqrt{2-4x}$+2$\sqrt{x+4}$兩邊平方可得：y²=18+4$\sqrt{-4（x+\frac{7}{4}）^{2}+\frac{81}{4}}$≤18+4×$\frac{9}{2}$=36，當且僅當x=-$\frac{7}{4}$時取等號．
∴y≤6，∴m=6．
∴a+b=6．
又a，b＞0，∴$\frac{4}{a}$+$\frac{9}$=$\frac{1}{6}$（a+b）$（\frac{4}{a}+\frac{9}）$=$\frac{1}{6}（13+\frac{4b}{a}+\frac{9a}）$≥$\frac{1}{6}（13+2\sqrt{\frac{4b}{a}×\frac{9a}}）$=$\frac{25}{6}$，當且僅當2b=3a=$\frac{36}{5}$時取等號．
∴$\frac{4}{a}$+$\frac{9}$的最小值為$\frac{25}{6}$，
故答案為：$\frac{25}{6}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、“乘1法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．