Question

13．運(yùn)行如圖所示的程序框圖，將輸出的a依次記作a₁，a₂，…，a_n，輸出的b依次記作b₁，b₂，…，b_n，輸出的S依次記作S₁，S₂，…S_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}$-$\frac{{1+{b_n}}}{a_n}$（n∈N^*，n≤2014）的值．

Answer 1

分析 （1）由題意知：a_n=2a_n-1+1，a₁=1，從而易得a_n+1=2（a_n-1+1），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由題意，a₁=1，b₁=1，S₁=0，當(dāng)2≤n≤2014時(shí)，S_n=S_n-1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，b_n=a_n•S_n，而S_n=S₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，從而可得$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，于是易求$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1+_{n}}{{a}_{n}}$（n∈N^*，n≤2014）的值；

解答 （本題滿分為12分）               
解：（1）由題意知：a_n=2a_n-1+1，a₁=1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∴a_n+1=（a₁+1）•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1（n∈N^*，n≤2014）．…（4分）  
（2）由題意，a₁=1，b₁=1，S₁=0，
當(dāng)2≤n≤2014時(shí)，S_n=S_n-1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，b_n=a_n•S_n，
此時(shí)，S_n=S₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，
∴b_n=a_n（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），
∴$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1+_{n}}{{a}_{n}}$=0，
當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$-$\frac{1+_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{3}$-$\frac{1+1}{1}$=-1，
綜上，$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1+_{n}}{{a}_{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{-1}&{n=1}\\{0}&{2≤n≤2014}\end{array}\right.$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，著重考查數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，考查程序框圖的理解與應(yīng)用，突出等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與抽象思維能力的考查，屬于難題．