Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=2+2t y=1-t

（t為參數(shù)），橢圓C的方程為

x2

4

+y²=1，試在橢圓C上求一點(diǎn)P，使得P到直線l的距離最小．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的參數(shù)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：首先，根據(jù)直線l的參數(shù)方程為

x=2+2t y=1-t

（t為參數(shù)），化簡(jiǎn)為普通方程為：x+2y=4，然后，設(shè)P（2cosθ，sinθ），根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求解即可．

解答： 解：根據(jù)直線l的參數(shù)方程為

x=2+2t y=1-t

（t為參數(shù)），得
其普通方程為：x+2y=4，
設(shè)P（2cosθ，sinθ），
∴P到l的距離為d=

|2cosθ+2sinθ-4|

5

=

|2 2 sin(θ+ π 4 )-4|

5

≥

|2 2 -4|

5

=

4-2 2

5

，
當(dāng)且僅當(dāng)sin（θ+

π

4

）=1，即θ=2kπ+

π

4

時(shí)等號(hào)成立．
此時(shí)，sinθ=cosθ=

2

2

，
∴P（2，

2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了參數(shù)方程和普通的互化、點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．