Question

5．如圖，已知點C是圓心為O半徑為1的半圓弧上動點（不含端點A和B），AB是直徑，直線CD⊥平面ABC，CD=1．
（1）證明：AC⊥BD；
（2）求三棱錐D-ABC體積的最大值．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥BC，AC⊥CD，從而AC⊥平面BCD，由此能證明AC⊥BD．
（2）令BC=a，AC=b，則a²+b²=4，從而求出S_△ABC≤1，由此能求出三棱錐D-ABC體積的最大值．

解答 證明：（1）∵C點在以AB為直徑的半圓弧上，∴AC⊥BC，
∵CD⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴AC⊥CD，
∵BC∩CD=C，∴AC⊥平面BCD，
∵BD?平面BCD，∴AC⊥BD．
解：（2）令BC=a，AC=b，則a²+b²=4，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}ab≤\frac{1}{2}×\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$=1，CD=1，
當且僅當a=b=$\sqrt{2}$時，取等號，
∴$V=\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×|CD|$=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}$$≤\frac{1}{3}$，
∴三棱錐D-ABC體積的最大值為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．