Question

3．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₉=90，S₁₅=240．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n和前n項(xiàng)和S_n；
（2）設(shè)a_nb_n=$\frac{1}{（n+1）}$，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，若不等式S_n＜t對(duì)于任意的n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，由題意可知$\left\{\begin{array}{l}{9{a}_{1}+36d=90}\\{15{a}_{1}+105d=240}\end{array}\right.$，解得即可，
（2）求出數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式，根據(jù)裂項(xiàng)求和求出S_n，即可求出t的范圍．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
由S₉=90，S₁₅=240，
得$\left\{\begin{array}{l}{9{a}_{1}+36d=90}\\{15{a}_{1}+105d=240}\end{array}\right.$，
解得a₁=d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
S_n=2n+$\frac{n（n-1）×2}{2}$=n（n+1），
（2）∵a_nb_n=$\frac{1}{（n+1）}$，
∴b_n=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
∴不等式S_n＜t對(duì)于任意的n∈N*恒成立，
∴t≥$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，以及裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．