已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足:2an=Sn+
1
2
,其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若an2=(
1
2
 bn,設(shè)cn=
bn
an
,Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,設(shè)dn=
2nTn
n3-n
(n≥2),Jn=d2+d3+…+dn,求證:Jn
8
3
(n≥2)
考點(diǎn):數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)兩利用遞推式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;
(2)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得bn,再利用“錯(cuò)位相減法”可得Tn,利用“裂項(xiàng)求和”可得Jn,利用向量的單調(diào)性即可證明.
解答: (1)解:∵2an=Sn+
1
2

∴當(dāng)n=1時(shí),2a1=a1+
1
2
,解得a1=
1
2

當(dāng)n≥2時(shí),2an-1=Sn-1+
1
2
,
∴2an-2an-1=an,化為an=2an-1
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,an=
1
2
×2n-1
=2n-2
(2)證明:an2=(
1
2
 bn
∴bn=log
1
2
a
2
n
=2log
1
2
2n-2
=2(2-n)=4-2n.
則cn=
bn
an
=
4-2n
2n-2
=
2-n
2n-3
,
∴Tn=4+0-1-
2
2
-
3
22
-…+
2-n
2n-3
,
1
2
Tn
=2+0-
1
2
-
2
22
-
3
23
-…+
3-n
2n-3
+
2-n
2n-2

1
2
Tn
=4-2-1-
1
2
-
1
22
-…-
1
2n-3
-
2-n
2n-2
=8-
4(1-
1
2n
)
1-
1
2
-
2-n
2n-2
=
n
2n-2
,
Tn=
n
2n-3

∴dn=
2nTn
n3-n
=
2n
n
2n-3
n3-n
=
8
n2-1
=4(
1
n-1
-
1
n+1
)
,
Jn=d2+d3+…+dn=4[(1-
1
3
)+(
1
2
-
1
4
)
+(
1
3
-
1
5
)
+…+(
1
n-1
-
1
n+1
)]

=4(1+
1
2
-
1
n
-
1
n+1
)
≥J2=4×(1+
1
2
-
1
2
-
1
3
)
=
8
3

∴Jn
8
3
(n≥2)
點(diǎn)評(píng):本題考查了遞推式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“錯(cuò)位相減法”、“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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若函數(shù)y=f(2x+1)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(2x)的圖象的對(duì)稱軸方程是(  )
A、x=-1
B、x=-
1
2
C、x=
1
2
D、x=1

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5
,則平面BCD被球所截得圖形的面積為
 

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x2
a2
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y2
b2
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3
,則△AOB的內(nèi)切圓半徑為( 。
A、
3
-1
B、
3
+1
C、2
3
-3
D、2
3
+3

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△abc的三邊為a,b,c,面積為s,若a=3,且4S=
3
(b2+c2-a2),則
b+c
sinB+sinC
=( 。
A、2
B、2
3
C、3
D、3
2

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一點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t秒后的距離為s=
1
4
t4-
7
3
t3+7t2-8t,則速度為零的時(shí)刻是
 

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k
5
,則k=
 

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設(shè)U=R,集合A={x|x>0},B={x∈Z|x2-4≤0},則下列結(jié)論正確的是( 。
A、(∁UA)∩B={-2,-1,0}
B、(∁UA)∪B=(-∞,0]
C、(∁UA)∩B={1,2}
D、A∪B=(0,+∞)

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在△ABC中,a,b分別是△ABC的內(nèi)角A,B所對(duì)的邊.若B=45°,b=
2
a
,則C=
 

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