Question

18．函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{ax+1}$，a≠0，a為常數(shù)，方程f（x）=x有唯一實數(shù)解
（1）求f（x）
（2）x₁=2，x_n+1=f（x_n），n∈N^*，求證：數(shù)列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}為等差數(shù)列，并求x_n．

Answer 1

分析 （1）方程f（x）=x有唯一解，求出a的值，從而求出函數(shù)的表達式，
（2）由題意可知，x_n+1=$\frac{{x}_{n}}{{x}_{n}-1}$，繼而得到$\frac{1}{{x}_{n+1}}$-$\frac{1}{{x}_{n}}$=1，數(shù)列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項，以1為公差的等差數(shù)列，即可求出通項公式．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{ax}{ax+1}$，a≠0，a為常數(shù)，方程f（x）=x，
∴ax²+x=ax，
即ax²+x（1-a）=0，
∴△=（1-a）²=0，
解得a=1，
∴f（x）=$\frac{x}{x+1}$，
（2）x_n+1=f（x_n），
∴x_n+1=$\frac{{x}_{n}}{{x}_{n}-1}$，
∴x_n+1x_n-x_n+1=x_n，
∴$\frac{1}{{x}_{n+1}}$-$\frac{1}{{x}_{n}}$=1，
∵x₁=2，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{x}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+（n-1）=n-$\frac{1}{2}$，
∴x_n=$\frac{2}{2n-1}$，
當n=1時，成立，
故x_n=$\frac{2}{2n-1}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．