Question

13．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右頂點與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點F₁重合
（1）若以原點O為圓心，|OF₁|為半徑的圓恰好與橢圓有且僅有2個交點，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，過該橢圓右焦點的直線交橢圓于A，B兩點，若雙曲線左頂點為M，直線AB的傾斜角θ，當θ∈[60°，90°]時，求$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線的右頂點，可得橢圓的c=2，由橢圓和圓有且僅有2個交點，可得b=c=2，求得a，進而得到橢圓方程；
（2）設(shè)過橢圓右焦點的直線為x=my+2，代入橢圓方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用韋達定理，由向量的數(shù)量積的坐標表示，化簡整理，結(jié)合直線的斜率公式，計算即可得到所求范圍．

解答 解：（1）雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右頂點為（2，0），
即有橢圓的c=2，
由以原點O為圓心，|OF₁|為半徑的圓恰好與橢圓有且僅有2個交點，
可得b=c=2，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
即橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設(shè)過橢圓右焦點的直線為x=my+2，
代入橢圓方程x²+2y²=8，可得（2+m²）y²+4my-4=0，
△＞0顯然成立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=-$\frac{4m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{4}{2+{m}^{2}}$，
$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=（my₁+4）（my₂+4）+y₁y₂
=（1+m²）y₁y₂+4m（y₁+y₂）+16
=（1+m²）（-$\frac{4}{2+{m}^{2}}$）+4m（-$\frac{4m}{2+{m}^{2}}$）+16=$\frac{28-4{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$=-4+$\frac{36}{2+{m}^{2}}$，
由θ∈[60°，90°]，可得tanθ∈[$\sqrt{3}$，+∞），或不存在，
可得m∈[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，
故當m=0時，取得最大值-4+18=14；m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，取得最小值$\frac{80}{7}$．
則有$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的取值范圍是[$\frac{80}{7}$，14]．

點評 本題考查雙曲線和橢圓的方程和性質(zhì)，以及橢圓與圓的位置關(guān)系，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，同時考查向量的數(shù)量積的坐標表示，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．