Question

設函數f（x）=

a-e x

1+e x

（a∈R）．
（1）若f（x）為R上的奇函數，求a的值；
（2）若f（x）在R上為減函數，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由f（x）為R上的奇函數，得f（0）=0，求出a的值，再驗證f（x）是否為R上的奇函數即可；
（2）利用分離常數法化簡f（x），由基本初等函數的單調性，求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=

a-e x

1+e x

（a∈R），
∴當f（x）為R上的奇函數時，f（0）=0，
即

a-1

1+1

=0，
解得a=1，
此時f（x）=

1-ex

1+ex

是R上的奇函數，
∴a的值是1；
（2）∵f（x）=

a-ex

1+ex

=

(a+1)-(1+ex)

1+ex

=

a+1

1+ex

-1，
當f（x）在R上為減函數時，a+1＞0，
解得a＞-1；
∴a的取值范圍是a＞-1．

點評：本題考查了函數的奇偶性與單調性的應用問題，是基礎性題目．