Question

13．已知f（x）=（x-m）²，m∈R，且函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）若方程|f（x）-1|=k恰有三個(gè)實(shí)根，求這三個(gè)實(shí)根．

Answer 1

分析 （1）、根據(jù)題意，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得f（-x）=f（x），即（x-m）²=（-x-m）²，解可得m的值；
（2）、根據(jù)題意，由（1）可得函數(shù)f（x）的解析式，若方程|f（x）-1|=k恰有三個(gè)實(shí)根，則函數(shù)y=|x²-1|與y=k有三個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)y=|x²-1|的圖象，分析可得k=1，解方程|x²-1|=1可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=（x-m）²為R上的偶函數(shù)，
必有f（-x）=f（x），即（x-m）²=（-x-m）²，
解可得m=0，
（2）由（1）可得m=0，即f（x）=x²，
若方程|f（x）-1|=k恰有三個(gè)實(shí)根，則函數(shù)y=|x²-1|與y=k有三個(gè)交點(diǎn)，
而函數(shù)y=|x²-1|如圖，
若函數(shù)y=|x²-1|與y=k有三個(gè)交點(diǎn)，
必有k=1，
對(duì)于方程|x²-1|=1，
解可得x=0或x=±$\sqrt{2}$，
即方程|f（x）-1|=k的三個(gè)實(shí)根為x=0或x=±$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的運(yùn)用以及方程根個(gè)數(shù)的判斷，涉及函數(shù)圖象的運(yùn)用，注意將方程的根的情況轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的情況進(jìn)行分析．