13.已知f(x)=(x-m)2,m∈R,且函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù).
(1)求m的值;
(2)若方程|f(x)-1|=k恰有三個實根,求這三個實根.

分析 (1)、根據(jù)題意,由偶函數(shù)的性質(zhì)可得f(-x)=f(x),即(x-m)2=(-x-m)2,解可得m的值;
(2)、根據(jù)題意,由(1)可得函數(shù)f(x)的解析式,若方程|f(x)-1|=k恰有三個實根,則函數(shù)y=|x2-1|與y=k有三個交點,作出函數(shù)y=|x2-1|的圖象,分析可得k=1,解方程|x2-1|=1可得答案.

解答 解:(1)根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=(x-m)2為R上的偶函數(shù),
必有f(-x)=f(x),即(x-m)2=(-x-m)2
解可得m=0,
(2)由(1)可得m=0,即f(x)=x2,
若方程|f(x)-1|=k恰有三個實根,則函數(shù)y=|x2-1|與y=k有三個交點,
而函數(shù)y=|x2-1|如圖,
若函數(shù)y=|x2-1|與y=k有三個交點,
必有k=1,
對于方程|x2-1|=1,
解可得x=0或x=±$\sqrt{2}$,
即方程|f(x)-1|=k的三個實根為x=0或x=±$\sqrt{2}$.

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的運用以及方程根個數(shù)的判斷,涉及函數(shù)圖象的運用,注意將方程的根的情況轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的情況進行分析.

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