Question

18．已知函數(shù)f（x）=（x+k）e^x（k∈R）．
（1）求f（x）的極值；
（2）求f（x）在x∈[0，3]上的最小值．
（3）設(shè)g（x）=f（x）+f'（x），若對(duì)?k∈[-$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}}$]及?x∈[0，2]有g(shù)（x）≥λ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=（x+k）e^x，求導(dǎo)f′（x）=（x+k+1）e^x，令f′（x）=0，求得x=-k-1，令f′（x）＜0，解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，f′（x）＞0，解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（x）的極值；
（2）當(dāng)-k-1≤0時(shí)，f（x）在[0，3]單調(diào)遞增，f（x）的最小值為f（0）=k，當(dāng)-k-1≥3時(shí)，f（x）在[0，3]單調(diào)遞減，f（x）的最小值為f（3）=（3+k）e³，當(dāng)0＜-k-1＜3時(shí)，則x=-k-1時(shí)，f（x）取最小值，最小值為：-e^-k-1；
（3）由g（x）=（2x+2k+1）e^x，求導(dǎo)g′（x）=（2x+2k+1）e^x，當(dāng)g′（x）＜0，解得：x＜-k-$\frac{3}{2}$，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)g′（x）＞0，解得：x＞-k-$\frac{3}{2}$，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，由題意可知g（x）≥λ，?x∈[0，2]恒成立，等價(jià)于g（-k-$\frac{3}{2}$）=-2${e}^{-k-\frac{3}{2}}$≥λ，由-2${e}^{-k-\frac{3}{2}}$≥λ，對(duì)?k∈[-$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}}$]恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=（x+k）e^x（k∈R），求導(dǎo)f′（x）=（x+k）e^x+e^x=（x+k+1）e^x，
令f′（x）=0，解得：x=-k-1，
當(dāng)x＜-k-1時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x＞-k-1時(shí)，f′（x）＞0，

x	（-∞，-k-1）	-k-1	（-k-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	-e-k-1	↑

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（-k-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間（-∞，-k-1），
∴當(dāng)x=-k-1，f（x）取極小值，極小值為f（-k-1）=-e^-k-1；
（2）當(dāng)-k-1≤0時(shí)，即k≥-1時(shí)，f（x）在[0，3]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)k=0時(shí)，f（x）的最小值為f（0）=k，
當(dāng)-k-1≥3時(shí)，即k≤-4時(shí)，f（x）在[0，3]單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=3時(shí)，f（x）的最小值為f（3）=（3+k）e³，
當(dāng)0＜-k-1＜3時(shí)，解得：1＜k＜4時(shí)，
∴f（x）在[0，-k-1]單調(diào)遞減，在[-k-1，+∞]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=-k-1時(shí)，f（x）取最小值，最小值為：-e^-k-1；
（3）g（x）=f（x）+f'（x）=（x+k）e^x+（x+k+1）e^x=（2x+2k+1）e^x，
求導(dǎo)g′（x）=（2x+2k+1）e^x+2e^x=（2x+2k+3）e^x，
令g′（0）=0，2x+2k+3=0，x=-k-$\frac{3}{2}$，
當(dāng)x＜-k-$\frac{3}{2}$時(shí)，g′（x）＜0，
當(dāng)x＞-k-$\frac{3}{2}$時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，-k-$\frac{3}{2}$）單調(diào)遞減，在（-k-$\frac{3}{2}$，+∞）單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=-k-$\frac{3}{2}$，g（x）取最小值，最小值為：g（-k-$\frac{3}{2}$）=-2${e}^{-k-\frac{3}{2}}$，
∵k∈[-$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}}$]，即-k-$\frac{3}{2}$∈[0，2]，
∴?x∈[0，2]，g（x）的最小值，g（-k-$\frac{3}{2}$）=-2${e}^{-k-\frac{3}{2}}$，
∴g（x）≥λ，?x∈[0，2]恒成立，等價(jià)于g（-k-$\frac{3}{2}$）=-2${e}^{-k-\frac{3}{2}}$≥λ，
由-2${e}^{-k-\frac{3}{2}}$≥λ，對(duì)?k∈[-$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}}$]恒成立，
∴λ≤（-2${e}^{-k-\frac{3}{2}}$）最小值，
令h（k）=-2${e}^{-k-\frac{3}{2}}$，k∈[-$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}}$]，
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)h（k）在k∈[-$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}}$]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)k=-$\frac{7}{2}$時(shí)，h（k）取最小值，h（-$\frac{7}{2}$）=-2e²，
∴λ≤-2e²．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍（-∞，-2e²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用到時(shí)研究函數(shù)的單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，屬于難題．