Question

給出下列四個命題：
①不等式（m-1）x²-（1-m）x+m＞0對任意實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)m的范圍是m＞1；
②如果實(shí)數(shù)x，y滿足（x-2）²+y²=3，則

y

x

的最大值為

3

；
③等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S₁₃＞0，S₁₄＜0，則S₇為S_n的最大值；
④若0＜x＜

1

2

，則x

1-4x2

的最大值是

1

4

．
其中正確的命題序號是

 

（把所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：對m討論，分m=1，m＞1且判別式小于0，解不等式即可判斷①；
運(yùn)用換元法，再由二次方程有實(shí)根的條件，即可判斷②；
運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式和單調(diào)性，即可判斷③；
運(yùn)用基本不等式，注意二次項(xiàng)的系數(shù)，即可判斷④．

解答： 解：對于①，不等式（m-1）x²-（1-m）x+m＞0對任意實(shí)數(shù)x都成立，則m=1時，1＞0恒成立；
當(dāng)m＞1，且判別式（1-m）²-4m（m-1）＜0，解得m＞1，則m的范圍是[1，+∞），則①錯；
對于②，如果實(shí)數(shù)x，y滿足（x-2）²+y²=3，令

y

x

=k，則y=kx，（1+k²）x²-4x+1=0，
由判別式△=16-4（1+k²）≥0，解得-

3

≤k≤

3

，則k的最大值為

3

．則②對；
對于③，等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S₁₃＞0，S₁₄＜0，則

1

2

（a₁+a₁₃）•13＞0，即有a₇＞0，
S₁₄＜0，即為

1

2

（a₁+a₁₄）•14＜0，即為a₇+a₈＜0，即有a₈＜0，則有公差小于0，即有前7項(xiàng)均為正數(shù)，
第8項(xiàng)起均為負(fù)的，則S₇為S_n的最大值，則③對；
對于④，若0＜x＜

1

2

，則x

1-4x2

=

1

2

4x2(1-4x2)

≤

1

2

( 4x2+1-4x2 2 )2

=

1

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)4x²=1-4x²，即x=

2

4

＜

1

2

，取得最大值

1

4

．則④對．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評：本題考查不等式恒成立問題，考查等差數(shù)列的求和和性質(zhì)的運(yùn)用以及單調(diào)性的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查二次方程實(shí)根的判斷，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．