Question

3．已知數(shù)列{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a₃=4，{a_n}的前3項和為7．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）2ⁿ+3，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n．求證：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$≤2-$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由于a₃=4，{a_n}的前3項和為7．可得${a}_{1}{q}^{2}$=4，${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=7，q＞0．解出即可得出．
（2）a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）2ⁿ+3，n=1時，可得b₁=1．當(dāng)n≥2時，可得：a_nb_n=（2n-1）•2^n-1，b_n=2n-1．因此數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n=n²．當(dāng)n≥2時，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，即可證明．

解答 （1）解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₃=4，{a_n}的前3項和為7．
∴${a}_{1}{q}^{2}$=4，${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=7，q＞0．
解得a₁=1，q=2．
∴a_n=2^n-1．
（2）證明：∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）2ⁿ+3，
∴n=1時，a₁b₁=-2+3，∴b₁=1．
當(dāng)n≥2時，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（2n-5）2^n-1+3，
可得：a_nb_n=（2n-1）•2^n-1，
∴b_n=2n-1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
∴當(dāng)n≥2時，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$≤1+$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=2-$\frac{1}{n}$．
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$≤2-$\frac{1}{n}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”方法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．