Question

15．班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從本班24名女同學，18名男同學中隨機抽取一個容量為7的樣本進行分析．
（I）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結果）
（Ⅱ）如果隨機抽取的7名同學的數(shù)學，物理成績（單位：分）對應如表．

學生序號i	1	2	3	4	5	6	7
數(shù)學成績xi	60	65	70	75	85	87	90
物理成績yi	70	77	80	85	90	86	93

若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學中抽取3名同學，記3名同學中數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）按照性別比例分層抽樣，先求出男生應該抽取3人，女生應該抽取4人，由此能求出按照性別比例分層抽樣，可以得到不同的樣本的個數(shù)．
（Ⅱ）由已知得這7名同學中，數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的有3人，ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）按照性別比例分層抽樣，
男生應該抽�。�$\frac{18}{24+18}$×7=3人，女生應該抽�。�$\frac{24}{24+18}×7$=4人，
∴按照性別比例分層抽樣，可以得到不同的樣本的個數(shù)為：${C}_{18}^{3}•{C}_{24}^{4}$個．
（Ⅱ）由已知得這7名同學中，數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的有3人，ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{4}{35}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{18}{35}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{12}{35}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{35}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

Eξ=$0×\frac{4}{35}+1×\frac{18}{35}+2×\frac{12}{35}+3×\frac{1}{35}$=$\frac{9}{7}$．

點評 本題考查分層抽樣的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．