Question

20．某小學(xué)五年級一次考試中，五名同學(xué)的語文、英語成績?nèi)绫硭�示�?br />

學(xué)生	A1	A2	A3	A4	A5
語文（x分）	89	91	93	95	97
英語（y分）	87	89	89	92	93

（1）請?jiān)谙聢D的直角坐標(biāo)系中作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并求出這些數(shù)據(jù)的回歸方程；
（2）要從4名語文成績在90分以上的同學(xué)中選2人參加一項(xiàng)活動，以X表示選中的同學(xué)的英語成績高于90分的人數(shù)，求隨機(jī)變量X不小于1的概率．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）把所給的五組數(shù)據(jù)作為五個點(diǎn)的坐標(biāo)描到直角坐標(biāo)系中，得到散點(diǎn)圖，再根據(jù)所給的數(shù)據(jù)先做出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即樣本中心點(diǎn)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．
（2）根據(jù)題意得到變量X的可能取值，結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出變量的概率，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）散點(diǎn)圖如圖所示．…（1分）

$\overline{x}$=$\frac{89+91+93+95+97}{5}$=93，$\overline{y}$=$\frac{87+89+89+92+93}{5}$=90，$\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=（-4）²+（-2）²+0²+2²+4²=40，$\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}\;）（{y}_{i}-\overline{y}\;）$=（-4）×（-3）+（-2）×（-1）+0×（-1）+2×2+4×3=30，
b=$\frac{30}{40}$=0.75，b $\overline{x}$=69.75，a=$\overline{y}$-b$\overline{\;}$$\overline{x}$=20.25．     …（5分）
故這些數(shù)據(jù)的回歸方程是：$\widehat{y}$=0.75x+20.25．     …（6分）
（2）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2．   …（7分）
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$；P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{2}{3}$；P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$． 
則隨機(jī)變量X不小于1的概率P=P（X=1）+P（X=2）=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$． …（10分）

點(diǎn)評 本題主要考查讀圖表、線性回歸方程、概率等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計知識解決簡單實(shí)際問題的能力，數(shù)據(jù)處理能力．