Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=|x|x-bx+c，則下列命題中正確命題的序號有①③④．（請將你認為正確命題的序號都填上）
①當(dāng)b＞0時，函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)；
②當(dāng)b＜0時，函數(shù)f（x）在R上有最小值；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（0，c）對稱；
④方程f（x）=0可能有三個實數(shù)根．

Answer 1

分析 ①當(dāng)b＞0時，把函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c分x≥0和x＜0兩種情況討論，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求單調(diào)性；
②當(dāng)b＜0時，函數(shù)f（x）在R上有最小值，可以根據(jù)函數(shù)的對稱性加以判斷；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（0，c）對稱，可以根據(jù)函數(shù)圖象的平移解決；
④方程f（x）=0可能有三個實數(shù)根，對b，c去特殊值．

解答 解：①當(dāng)b＞0時，f（x）=|x|x+bx+c=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+bx+c，x≥0}\\{-{x}^{2}+bx+c，x＜0}\end{array}\right.$，知函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)；
②當(dāng)b＜0時，f（x）=|x|x+bx+c=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+bx+c，x≥0}\\{-{x}^{2}+bx+c，x＜0}\end{array}\right.$，值域是R，故函數(shù)f（x）在R上沒有最小值；
③若f（x）=|x|x+bx那么函數(shù)f（x）是奇函數(shù)（f（-x）=-f（x）），也就是說函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（0，0）對稱．而函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c的圖象是由函數(shù)f（x）=|x|x+bx的圖象沿Y軸移動，故圖象一定是關(guān)于（0，c）對稱的．
④令b=-2，c=0，則f（x）=|x|x-2x=0，解得x=0，2，-2．所以正確．
故答案為：①③④．

點評 此題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性、對稱性和最值問題，對于含有絕對值的一類問題，通常采取去絕對值的方法解決，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想；函數(shù)的對稱性問題一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的奇偶性加以分析，再根據(jù)函數(shù)圖象的平移解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、運動的數(shù)學(xué)思想；對于存在性的命題研究，一般通過特殊值法來解決．是好題，屬中檔題．