Question

某工廠現(xiàn)有200人，人均年收入為4萬元．為了提高工人的收入，工廠將進行技術(shù)改造，改造后有x（100≤x≤150）人繼續(xù)留用，他們的人均年收入為4a（a∈N⁺）萬元，剩下的人從事其它服務行業(yè)，這些人的人均年收入有望提高（2x）%．
（1）設(shè)技術(shù)改造后這200人的人均年收入為y萬元，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當x為多少時，能使這200人的人均年收入達到最大，并求出最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）結(jié)合函數(shù)關(guān)系以及一元二次函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）由題意可知技術(shù)改造后這200人的人均年收入為y=

4ax+(200-x)(1+ 2x 100 )

200

=-

1

10000

x2+

4a+3

200

•x+1，（100≤x≤150）．
（2）因為函數(shù)y=f（x）=-

1

10000

x2+

4a+3

200

•x+1為開口向下的拋物線，
所以對稱軸x=-

4a+3 200

2×(- 1 10000 )

=

50(5a+3)

2

=100a+75，
因為a∈N⁺），所以對稱軸x=100a+75≥175，
所以當100≤x≤150是，函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增，
故當x=150時，函數(shù)取得最大值為f（150）=3a+1（萬元）．
答當x150時，能使這200人的人均年收入達到最大，最大值為3a+1（萬元）．

點評：本題主要考查函數(shù)的應用問題，根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．