Question

3．已知$\overrightarrow{a}$=1，|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{13}$，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是60°．
（1）求|$\overrightarrow$|，|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）⊥（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義，向量的平方即為模的平方，解方程可得|$\overrightarrow$|=2；|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=$\sqrt{21}$；
（2）運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，化簡(jiǎn)整理，解方程即可得到所求值．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{13}$，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是60°，
可得|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|²=13，即為$\overrightarrow{a}$²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+4$\overrightarrow$²=13，
即為1-4•1•|$\overrightarrow$|•cos60°+4|$\overrightarrow$|²=13，
解得|$\overrightarrow$|=2；
|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}}$
=$\sqrt{1+4×1×2×\frac{1}{2}+4×4}$=$\sqrt{21}$；
（2）由（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）⊥（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），可得
（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，
即有λ$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow$²+（2λ-1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
即為λ-8+（2λ-1）×1×2×$\frac{1}{2}$=0，
解得λ=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．