Question

13．下列結(jié)論正確的個數(shù)是3．
①對于函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\\{\;}\end{array}\right.$，任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立；
②函數(shù)f（x）=cos²αx-sin²αx的最小正周期為π是“α=1”的必要不充分條件；
③x²+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立?（x²+2x）_min≥（ax）_maz在x∈[1，2]上恒成立；
④?m∈R，使f（x）=mx${\;}^{{m}^{2}+2m}$是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上是單調(diào)遞增．

Answer 1

分析 ①作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行判斷，
②根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷，
③根據(jù)不等式恒成立的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為參數(shù)恒成立進行判斷，
④根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)進行判斷求解求解即可．

解答 解：①f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，\;\;\;x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$的圖象如圖所示
f（x）的最大值為1，最小值為-1，∴任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立，正確；
②解：f（x）=cos²αx-sin²αx=cos2αx，
當α=1時，函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{2α}$=π，∴必要性成立．
若f（x）=cos²αx-sin²αx=cos2αx的最小正周期為π，則T=$\frac{2π}{|2α|}$=π，
解得α=±1，∴充分性不成立．
故函數(shù)f（x）=cos²αx-sin²αx的最小正周期為π是“α=1”的必要不充分條件，故②正確，
③x²+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立?$\frac{{x}^{2}+2x}{x}$≥a，即（x+2）≥a，即（x+2）_min≥a在x∈[1，2]上恒成立；
故③錯誤，
④若f（x）=mx${\;}^{{m}^{2}+2m}$是冪函數(shù)，則m=1，則f（x）=x³，則在（0，+∞）上是單調(diào)遞增，故④正確，
故正確的是①②④，
故答案為：3

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的性質(zhì)，充分條件和必要條件的判斷以及函數(shù)最值的應用，涉及的知識點較多，綜合性較強，有一定的難度．