Question

5．已知關于x的不等式（ax-1）（x-2）＞2的解集為A，且3∉A．
（I）求實數(shù)a的取值范圍；
（II）求集合A．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)題意，把x=3代入（ax-1）（x-2）≤2中，求出a的取值范圍；
（II）根據(jù)（ax-1）（x-2）＞2，討論a的取值，求出對應不等式的解集．

解答 解：（I）∵3∉A，
∴當x=3時，有（ax-1）（x-2）≤2，
即3a-1≤2；
解得a≤1，
即a的取值范圍是{a|a≤1}；…（3分）
（II）（ax-1）（x-2）＞2，
∴（ax-1）（x-2）-2＞0，
∴ax²-（2a+1）x＞0，…（4分）
當a=0時，集合A={x|x＜0}；…（5分）
當$a＜-\frac{1}{2}$時，集合$A=\left\{{x|0＜x＜2+\frac{1}{a}}\right\}$；…（6分）
當$a=-\frac{1}{2}$時，原不等式的解集A為空集；…（7分）
當$-\frac{1}{2}＜a＜0$時，集合$A=\left\{{x|2+\frac{1}{a}＜x＜0}\right\}$；…（8分）
當0＜a≤1時，集合$A=\left\{{x|x＜0或x＞2+\frac{1}{a}}\right\}$．…（9分）

點評 本題考查了不等式的解法與應用問題，也考查了分類討論思想的應用問題，是綜合性題目．