Question

19．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，且AC=BD，平面PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）在△PAD中，AP=2，AD=2$\sqrt{3}$，PD=4，三棱錐E-ACD的體積是$\sqrt{3}$，求二面角D-AE-C的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO，則EO∥PB，由此能證明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）推導(dǎo)出PA⊥AD．則PA⊥平面ABC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{AB}$的方向?yàn)閤軸的正方向，$|{\overrightarrow{AP}}|$為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出二面角D-AE-C的大�。�

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO．
∵ABCD是平行四邊形，∴O為BD的中點(diǎn)．
又E為PD的中點(diǎn)，∴EO∥PB．
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC．
解：（Ⅱ）∵在△PAD中，$AP=2，AD=2\sqrt{3}，PD=4$，
∴AP²+AD²=PD²，∴∠PAD=90°，∴PA⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABC，∴PA⊥平面ABC，
在平行四邊形ABCD中，AC=BD，∴ABCD為矩形，
∴AB，AD，AP兩兩垂直．
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{AB}$的方向?yàn)閤軸的正方向，$|{\overrightarrow{AP}}|$為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
∵E為PD的中點(diǎn)，∴三棱錐E-ACD的高為$\frac{1}{2}$，
設(shè)AB=m（m＞0），三棱錐E-ACD的體積$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×m×1=\sqrt{3}$，解得m=3=AB．
則$A（0，0，0），D（0，2\sqrt{3}，0），E（0，\sqrt{3}，1）$，$\overrightarrow{AE}=（0，\sqrt{3}，1）$，
設(shè)B（3，0，0）（m＞0），則$C（3，2\sqrt{3}，0），\overrightarrow{AC}=（3，2\sqrt{3}，0）$．
設(shè)$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$為平面ACE的法向量，
則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{3{x_1}+2\sqrt{3}{y_1}=0}\\{\sqrt{3}{y_1}+{z_1}=0}\end{array}}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{n_1}=（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，-1，\sqrt{3}）$．
又$\overrightarrow{n_2}=（1，0，0）$為平面DAE的法向量，
由題設(shè)$|{cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞}|=\frac{{|{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}|}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}}{{\frac{{4\sqrt{3}}}{3}}}=\frac{1}{2}$，
即二面角D-AE-C的大小是60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．