Question

15．如圖，三棱柱ADE-BCF中，四邊形ABCD為平行四邊形，DE⊥平面ABCD，AD=DE=1，AB=2，∠BCD=60°．
（I）求證：BD⊥AE；
（Ⅱ）若GE=$\frac{1}{2}$DE，求直線CG與平面BDF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）據(jù)線面垂直的判定定理證明BD⊥平面ADE即可證明BD⊥AE；
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，求出平面BDF的法向量，利用向量法結(jié)合線面角的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（I）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，AD=1，AB=2，∠BCD=60°．
∴∠ADB=∠DBC=90°，且BD=$\sqrt{3}$，
則BD⊥AD，
∵DE⊥平面ABCD，DB?平面ABCD，
∴DE⊥BD，
∵AD∩DE=D，
∴BD⊥平面ADE，
∵AE?平面ADE，
∴BD⊥AE；
（Ⅱ）若GE=$\frac{1}{2}$DE，即G是DE的中點(diǎn)，
∵DE⊥平面ABCD，BD⊥AD，
∴建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DB，DE分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），E（0，0，1），G（0，0，$\frac{1}{2}$），
則$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），則C（-1，$\sqrt{3}$，0），
設(shè)F（x，y，z），則（x，y，z-1）=（-1，$\sqrt{3}$，0），
即x=-1，y=$\sqrt{3}$，z=1，即F（-1，$\sqrt{3}$，1），
$\overrightarrow{DB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DF}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），
設(shè)平面BDF的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DB}$=$\sqrt{3}$y=0，$\overrightarrow{m}$•DF→=-x+$\sqrt{3}$y+z=0，
則y=0，令x=1，則z=1，即$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
$\overrightarrow{CG}$=（1，-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），
設(shè)直線CG與平面BDF所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{CG}$，$\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{1+\frac{1}{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{1+3+\frac{1}{4}}}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2}•\frac{\sqrt{17}}{2}}$=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$．
即|直線CG與平面BDF所成角的正弦值是$\frac{3\sqrt{34}}{34}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線垂直的判斷以及線面角的求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決空間角常用的方法．