Question

12．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB．
（1）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（2）若AB=1，求四棱錐C-ABED的體積．

Answer 1

分析 （1）取CE的中點G，連FG、BG，由三角形的中位線定理可得GF∥DE，且GF=$\frac{1}{2}$DE．再由線面垂直的性質可得AB∥DE，則GF∥AB．結合AB=$\frac{1}{2}$DE，得到則四邊形GFAB為平行四邊形，得AF∥BG．在等邊三角形ACD中，得到AF⊥CD，結合DE⊥平面ACD，可得DE⊥AF．由線面垂直的判定得故AF⊥平面CDE．進一步得到BG⊥平面CDE，由面面垂直的判定得平面平面BCE⊥平面CDE；
（2）取AD中點M，連接CM，在△ACD中，可得AF=CM，從而得到V=$\frac{1}{3}$CM•S_ABED=$\frac{1}{3}$AF•S_ABED=$\sqrt{3}$．

解答 （1）證明：取CE的中點G，連FG、BG．
∵F為CD的中點，
∴GF∥DE，且GF=$\frac{1}{2}$DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，則GF∥AB．
又AB=$\frac{1}{2}$DE，
∴GF=AB，則四邊形GFAB為平行四邊形，得AF∥BG．
∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點，
∴AF⊥CD，
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴DE⊥AF．
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，
∴BG⊥平面CDE
又BG?平面BCE，
∴平面平面BCE⊥平面CDE；
（2）解：取AD中點M，連接CM，
∵△ACD為等邊三角形，則CM⊥AD，
∵DE⊥平面ACD，且DE?平面ABED，
∴平面ACD⊥平面ABED，
又平面ACD∩平面ABED=AD，
∴CM⊥平面ABED，
∴CM為四棱錐C-ADEB的高，
∴V=$\frac{1}{3}$CM•S_ABED=$\frac{1}{3}$AF•S_ABED=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了棱錐體積的求法，是中檔題．