Question

18．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AA₁=2，AC=2$\sqrt{2}$，M是CC₁的中點，P是AM的中點，點Q在線段BC₁上，且BQ=$\frac{1}{3}$QC₁．
（1）證明：PQ∥平面ABC；
（2）若∠BAC=30°，求三棱錐A-PBQ的體積．

Answer 1

分析 （1）作PF⊥AC，QE⊥BC，連接FE，證明PQFE是平行四邊形，可得PQ∥FE，利用線面平行的判定定理證明PQ∥平面ABC；
（2）求出Q到平面ABP的距離，利用三棱錐的體積公式求三棱錐A-PBQ的體積．

解答 （1）證明：作PF⊥AC，QE⊥BC，連接FE．
∵P是AM的中點，
∴PF∥MC，PF=$\frac{1}{2}$MC
∵BQ=$\frac{1}{3}$QC₁，
∴QE∥MC，QE=$\frac{1}{2}$MC
∴PF∥QE，PF=QE，
∴PQFE是平行四邊形，
∴PQ∥FE
∵PQ?平面ABC，F(xiàn)E?平面ABC，
∴PQ∥平面ABC；
（2）解：∵AC=2$\sqrt{2}$，∠BAC=30°，
∴BC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{6}$．
設(shè)C到平面ABM的距離為h，則$\frac{1}{2}×BC×CM=\frac{1}{2}×BM×h$，∴h=$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴Q到平面ABP的距離為$\frac{\sqrt{6}}{12}$
又${S}_{△ABP}=\frac{1}{2}{S}_{△ABM}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴V_A-PBQ=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{4}×\frac{\sqrt{6}}{12}$=$\frac{\sqrt{3}}{24}$

點評 本題考查線面平行判定的證明，考查三棱錐體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．