Question

【題目】某動物園要為剛入園的小動物建造一間兩面靠墻的三角形露天活動室，地面形狀如圖所示，已知已有兩面墻的夾角為 （∠ACB= ），墻AB的長度為6米，（已有兩面墻的可利用長度足夠大），記∠ABC=θ
（1）若θ= ，求△ABC的周長（結果精確到0.01米）；
（2）為了使小動物能健康成長，要求所建的三角形露天活動室面積△ABC的面積盡可能大，問當θ為何值時，該活動室面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，由正弦定理可得AC= =2 ，BC= =3 + ，

∴△ABC的周長為6+3 +3 ≈17.60米

（2）解：在△ABC中，由余弦定理：c2=602=a2+b2﹣2abcos60°，

∴a2+b2﹣ab=36，

∴36+ab=a2+b2≥2ab，即ab≤36，

∴S△ABC= ACBCsin = ab≤9 ，

此時a=b，△ABC為等邊三角形，

∴θ=60°，（S△ABC）max=9

【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理可得AC，BC，即可求△ABC的周長；（2）利用余弦定理列出關系式，將c，cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，利用三角形的面積公式求出面積的最大值，以及此時θ的值．