【題目】某動物園要為剛入園的小動物建造一間兩面靠墻的三角形露天活動室,地面形狀如圖所示,已知已有兩面墻的夾角為 (∠ACB= ),墻AB的長度為6米,(已有兩面墻的可利用長度足夠大),記∠ABC=θ
(1)若θ= ,求△ABC的周長(結果精確到0.01米);
(2)為了使小動物能健康成長,要求所建的三角形露天活動室面積△ABC的面積盡可能大,問當θ為何值時,該活動室面積最大?并求出最大面積.
【答案】
(1)解:在△ABC中,由正弦定理可得AC= =2 ,BC= =3 + ,
∴△ABC的周長為6+3 +3 ≈17.60米
(2)解:在△ABC中,由余弦定理:c2=602=a2+b2﹣2abcos60°,
∴a2+b2﹣ab=36,
∴36+ab=a2+b2≥2ab,即ab≤36,
∴S△ABC= ACBCsin = ab≤9 ,
此時a=b,△ABC為等邊三角形,
∴θ=60°,(S△ABC)max=9
【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理可得AC,BC,即可求△ABC的周長;(2)利用余弦定理列出關系式,將c,cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值,利用三角形的面積公式求出面積的最大值,以及此時θ的值.
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【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側棱BB1⊥底面A1B1C1 , D為AC 的中點,A1B1=BB1=2,A1C1=BC1 , ∠A1C1B=60°.
(Ⅰ)求證:AB1∥平面BDC1;
(Ⅱ)求多面體A1B1C1DBA的體積.
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【題目】某商場為一種躍進商品進行合理定價,將該商品按事先擬定的價格進行試銷,得到如下數據:
單位(元) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
銷量(件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)按照上述數據,求四歸直線方程,其中,;
(2)預計在今后的銷售中,銷量與單位仍然服從(Ⅰ)中的關系,若該商品的成本是每件7.5元,為使商場獲得最大利潤,該商品的單價應定為多少元?(利潤=銷售收入﹣成本)
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【題目】如圖,P為正方體ABCD﹣A1B1C1D1中AC1與BD1的交點,則△PAC在該正方體各個面上的射影可能是( )
A.①②③④
B.①③
C.①④
D.②④
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【題目】已知數列{an}中,已知a1=1,a2=a,an+1=k(an+an+2)對任意n∈N*都成立,數列{an}的前n項和為Sn .
(1)若{an}是等差數列,求k的值;
(2)若a=1,k=﹣ ,求Sn;
(3)是否存在實數k,使數列{am}是公比不為1的等比數列,且任意相鄰三項am , am+1 , am+2按某順序排列后成等差數列?若存在,求出所有k的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC⊥BC,A1B與AB1交于點D,A1C與AC1交于點E.求證:
(1)DE∥平面B1BCC1;
(2)平面A1BC⊥平面A1ACC1 .
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【題目】某商店為了更好地規(guī)劃某種商品進貨的量,該商店從某一年的銷售數據中,隨機抽取了組數據作為研究對象,如下圖所示((噸)為該商品進貨量, (天)為銷售天數):
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 11 | |
1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
(Ⅰ)根據上表數據在下列網格中繪制散點圖;
(Ⅱ)根據上表提供的數據,求出關于的線性回歸方程;
(Ⅲ)在該商品進貨量(噸)不超過6(噸)的前提下任取兩個值,求該商品進貨量x(噸)恰有一個值不超過3(噸)的概率.
參考公式和數據:,.
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