Question

16．在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{2}t}\\{y=-1+\sqrt{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=2cos（θ+\frac{π}{4}）$
（1）判斷曲線C₁與曲線C₂的位置關(guān)系；
（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y）為曲線C₂上任意一點(diǎn)，求2x+y的最大值．

Answer 1

分析 （1）將參數(shù)方程曲線C₁與曲線C₂化為普通方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可判斷．
（2）利用參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有界限求其最大值．

解答 解：（1）將C₁消去參數(shù)t，即$\frac{2-x}{\sqrt{2}}$×$\sqrt{2}$-1=y，化簡(jiǎn)得到C₁的方程為x+y-1=0．
由ρ=2cos（θ+$\frac{π}{4}$），得ρ=$\sqrt{2}$cosθ-$\sqrt{2}$sinθ，
∴ρ²=$\sqrt{2}$ρcosθ-$\sqrt{2}$ρsinθ，即x²-$\sqrt{2}$x+y²+$\sqrt{2}$y=0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1．
圓心到直線的距離d：∵d=$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1．
故曲線C₁與曲線C₂相交．
（2）由題意：M（x，y）為曲線C₂上任意一點(diǎn)，可設(shè)$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}+cosθ}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}+sinθ}\end{array}\right.$則：2x+y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+2cosθ+sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{5}$sin（θ+φ），
∵sin（θ+φ）的最大值為1．
∴2x+y的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程的能力以及利用參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有界限求其最大值的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．