Question

6．下面有四個(gè)關(guān)于充要條件的命題：
①若x∈A，則x∈B是A⊆B的充要條件；
②函數(shù)y=x²+bx+c為偶函數(shù)的充要條件是b=0；
③x=1是x²-2x+1=0的充要條件；
④若a∈R，則a＞1是$\frac{1}{a}$＜1的充要條件，
其中真命題的序號(hào)是①②③．

Answer 1

分析 ①根據(jù)集合的包含關(guān)系結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷，
②根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷，
③根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷，
④根據(jù)不等式的關(guān)系以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．

解答 解：①若x∈A，則x∈B是A⊆B的充要條件；正確
②函數(shù)y=f（x）=x²+bx+c為偶函數(shù)則f（-x）=f（x），
即x²-bx+c=x²+bx+c，即-b=b則b=0，充分性成立，
若b=0，則f（x）=x²+c為偶函數(shù)，必要性成立，則函數(shù)y=x²+bx+c為偶函數(shù)的充要條件是b=0成立，故②正確；
③由x²-2x+1=0得（x-1）²=0，則x=1，即x=1是x²-2x+1=0的充要條件；故③正確，
④若a∈R，當(dāng)a＞1時(shí)，$\frac{1}{a}$＜1成立，即充分性成立，
當(dāng)a＜0時(shí)，滿足$\frac{1}{a}$＜1，但a＞1不成立，即必要性不成立，則a＞1是$\frac{1}{a}$＜1成立的充分不必要條件，故④錯(cuò)誤，
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及充分條件和必要條件的定義，比較基礎(chǔ)．