Question

5．設數列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為S_n，T_n，2S_n=3a_n-3，T_n=n²+n，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）證明：$\frac{1}{{a}_{1}-_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}-_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式即可得出．
（2）利用二項式定理、不等式的性質即可證明．

解答 解：（1）∵2S_n=3a_n-3，∴n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n-1）=3a_n-3-（3a_n-1-3），化為：a_n=3a_n-1．
n=1時，2a₁=3a₁-3，解得a₁=3．
∴數列{a_n}為等比數列，公比為3．∴a_n=3ⁿ．
T_n=n²+n，n∈N^*，∴數列{b_n}是等差數列，首項b₁=T₁=2，2+b₂=6，解得b₂=4．
∴公差d=2，∴b_n=2+2（n-1）=2n．
（2）當n≥2時，a_n-b_n=3ⁿ-2n
=（1+2）ⁿ-2n
=$1+2n+{∁}_{n}^{2}$2²+…+${∁}_{n}^{n}$•2ⁿ-2n
＞1+2ⁿ．
①n=1時：左邊=$\frac{1}{{a}_{1}-_{1}}$=$\frac{1}{3-2}$=1$＜\frac{3}{2}$；
②當n≥2時，左邊=1+$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{2}^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$$＜\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了遞推關系、等比數列的通項公式與求和公式、數列的單調性、不等式的性質、二項式定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．