6.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿足:2Sn2-(3n2+3n-2)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*
(Ⅰ)求a1的值;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè)bn=$\frac{a_n}{{{3^{n+1}}}}$,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (Ⅰ)通過(guò)令n=1,結(jié)合數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),計(jì)算即得結(jié)論;
(Ⅱ)通過(guò)對(duì)2Sn2-(3n2+3n-2)Sn-3(n2+n)=0變形可知$({{S_n}+1})•[{2{S_n}-3({{n^2}+n})}]=0$,n∈N*,通過(guò)an>0可知${S_n}=\frac{3}{2}({{n^2}+n})$,利用當(dāng)n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1計(jì)算即得結(jié)論;
(Ⅲ)利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

解答 解:(Ⅰ)由$2S_n^2-({3{n^2}+3n-2}){S_n}-3({{n^2}+n})=0,n∈{N^*}$可得:$2S_1^2-({3•{1^2}+3•1-2}){S_1}-3({{1^2}+1})=0$,
又S1=a1,
所以a1=3.
(Ⅱ)由$2S_n^2-({3{n^2}+3n-2}){S_n}-3({{n^2}+n})=0,n∈{N^*}$可得:$({{S_n}+1})•[{2{S_n}-3({{n^2}+n})}]=0$,n∈N*,
又an>0,所以Sn>0,
∴${S_n}=\frac{3}{2}({{n^2}+n})$,
∴當(dāng)n>2時(shí),${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{3}{2}[{{n^2}+n-{{({n-1})}^2}-({n-1})}]=3n$,
由(Ⅰ)可知,
此式對(duì)n=1也成立,
∴an=3n.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得${b_n}=\frac{a_n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{3n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{n}{3^n}$,
∴${T_n}={b_1}+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+…+\frac{n-1}{{{3^{n-1}}}}+\frac{n}{3^n}$;
∴$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{3}{3^4}+…+\frac{n-1}{3^n}+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$;
∴${T_n}-\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+…+\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$,
∴$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+…+\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{{\frac{1}{3}-\frac{1}{{{3^{n+1}}}}}}{{1-\frac{1}{3}}}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}({1-\frac{1}{3^n}})-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{1}{2}-\frac{2n+3}{{2•{3^{n+1}}}}$,
∴${T_n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{{4•{3^n}}}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和,考查運(yùn)算求解能力,錯(cuò)位相減法求和是解決本題的關(guān)鍵,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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