Question

15．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），設F₁，F(xiàn)₂為其左、右焦點，P在雙曲線右支上，半徑為b+$\frac{a}$的圓M為△PF₁F₂的內(nèi)切圓，若點M到直線y=$\frac{a}$x的距離為$\frac{1}{2}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{3\sqrt{6}}{6}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 充分利用平面幾何圖形的性質(zhì)解題．因從同一點出發(fā)的切線長相等，記△PF₁F₂的邊PF₁、PF₂、F₁F₂上的切點分別為K、N、D，得PK|=|PN|，|F₁K|=|F₁D|，|F₂N|=|F₂D|，再結合雙曲線的定義得|F₁D|-|F₂D|=2a，從而即可求得△PF₁F₂的內(nèi)心的橫坐標，即有M的坐標，運用點到直線的距離公式，可得a，b的關系，再由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：記△PF₁F₂的邊PF₁、PF₂、F₁F₂上的切點分別為K、N、D，
易見M、D橫坐標相等，
|PK|=|PN|，|F₁K|=|F₁D|，|F₂N|=|F₂D|，由|PF₁|-|PF₂|=2a，
即：|PK|+|KF₁|-（|PN|+|NF₂|）=2a，得|KF₁|-|NF₂|=2a即|F₁D|-|F₂D|=2a，
記M的橫坐標為x₀，則D（x₀，0），
于是：x₀+c-（c-x₀）=2a，得x₀=a，
可得M（a，b+$\frac{a}$），
由點M到直線y=$\frac{a}$x的距離為$\frac{1}{2}$，
即為$\frac{|ab-ab-b|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
化為a=$\sqrt{3}$b，
即有c²=a²+b²=a²+$\frac{1}{3}$a²=$\frac{4}{3}$a²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，注意運用切線的性質(zhì)判斷圓心的橫坐標是解題的關鍵，屬于中檔題．