Question

5．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的四個面中，面積最大的面的面積是$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱錐，由三視圖求出幾何體的棱長、并判斷出線面的位置關(guān)系，由勾股定理、余弦定理、三角形的面積公式求出各個面的面積，即可得幾何體的各面中面積最大的面的面積．

解答 解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱錐P-ABC，
直觀圖如圖所示：由圖得，PA⊥平面ABC，
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2×2×sin{120^0}=\frac{1}{2}×2×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$，${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}×2×2=2$，$PB=2\sqrt{2}$，$AC=2\sqrt{3}$，
則${S_{△PAC}}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
在△PBC中，$PC=\sqrt{P{A^2}+A{C^2}}=\sqrt{{2^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}=4$，
由余弦定理得：$cos∠PBC=\frac{{{2^2}+{{（2\sqrt{2}）}^2}-{4^2}}}{{2×2×2\sqrt{2}}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
則$sin∠PBC=\frac{{\sqrt{14}}}{4}$，所以${S_{△PAC}}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{14}}}{4}=\sqrt{7}$，
所以三棱錐中，面積最大的面是△PAC，其面積為$2\sqrt{3}$，
故答案為：$2\sqrt{3}$．

點評 本題考查由三視圖求幾何體的表面積，勾股定理、余弦定理、三角形的面積公式的應(yīng)用，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．