Question

1．f（x）=e^x（2x-1）-ax+a（a∈R），e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在實數(shù)x∈（1，+∞），x滿足f（x）＜0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=1時，f′（x）=e^x（2x+1）-1，f′（0）=0，且函數(shù)f′（x）在R上單調(diào)遞增，即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）由f（x）＜0，則e^x（2x-1）-ax+a＜0，e^x（2x-1）＜a（x-1），由x＞1，化為a＞$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$，利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出g（x）的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（2x+1）-a，
a=1時，f′（x）=e^x（2x+1）-1，
f′（0）=0，且函數(shù)f′（x）在R上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
（2）由f（x）＜0，則e^x（2x-1）-ax+a＜0，e^x（2x-1）＜a（x-1），
∵x＞1，∴a＞$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}（2x+1）（x-1）-{e}^{x}（2x-1）}{（x-1）^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（2{x}^{2}-3x）}{（x-1）^{2}}$，
∴函數(shù)g（x）在$（1，\frac{3}{2}）$上單調(diào)遞減；在$（\frac{3}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增．
∴當x=$\frac{3}{2}$時，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，$g（\frac{3}{2}）$=4${e}^{\frac{3}{2}}$．
∴x＞1時，a＞4${e}^{\frac{3}{2}}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是$（4{e}^{\frac{3}{2}}，+∞）$．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價轉(zhuǎn)化方法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．