Question

10．已知f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x-m
（1）求f（x）的極值
（2）當(dāng)m取何值時，函數(shù)f（x）有三個不同零點？

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為f（x）的極大值大于0且f（x）的極小值小于0，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=（x-1）（x-3），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，
∴f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，3）遞減，在（3，+∞）遞增，
∴f（x）_極大值=f（1）=$\frac{4}{3}$-m，f（x）_極小值=f（3）=-m；
（2）要使函數(shù)f（x）有3個不同零點，
只需$\left\{\begin{array}{l}{{f（x）}_{極大值}＞0}\\{{f（x）}_{極小值}＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}-m＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，解得：0＜m＜$\frac{4}{3}$，
故0＜m＜$\frac{4}{3}$時，函數(shù)f（x）有三個不同零點．

點評 不同考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．