Question

7．已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，一直線分△ABC為面積相等的兩個(gè)部分，且?jiàn)A在AB、BC之間的線段為MN，則MN長(zhǎng)度的最小值為2．

Answer 1

分析 由C為直角，在直角三角形ABC中，由邊AC及BC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)兩直角邊乘積的一半求出三角形ABC的面積，同時(shí)根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出sinB及cosB的值，設(shè)線段BN的長(zhǎng)度為x，線段BM的長(zhǎng)度為y，由直線MN把三角形分為面積相等的兩部分，可得三角形BMN的面積等于三角形ABC面積的一半，由x，y及sinB的值，利用三角形的面積公式列出關(guān)系式，求出xy的值，在三角形BMN中，由x，y及cosB的值，利用余弦定理得|MN|²=x²+y²-2xycosB，把cosB的值代入，利用基本不等式變形，再將xy的值代入，即可求出|MN|的最小值，以及取得最小值時(shí)x與y的值．

解答 解：如圖示：
，
∵C=90°，|AC|=3，|BC|=4，
∴根據(jù)勾股定理得：|AB|=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|BC|•|AC|=6，
∴sinB=$\frac{3}{5}$，
設(shè)|BN|=x，|BM|=y，
∵S_△BMN=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$xysinB=$\frac{3}{10}$xy=3，
∴xy=10，
在△BMN中，|BN|=x，|BM|=y，cosB=$\frac{4}{5}$，
由余弦定理有：|MN|²=x²+y²-2xycosB=x²+y²-16≥2xy-16=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\sqrt{10}$時(shí)取等號(hào)，
∴|MN|_min=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，三角形的面積公式，余弦定理，以及基本不等式的應(yīng)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．