Question

3．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2}=1（a＞0）$，點(diǎn)A，F(xiàn)分別為其右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)F作AF的垂線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)P作AP的垂線交x軸于點(diǎn)D，若|DF|=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求得A，F(xiàn)的坐標(biāo)，令x=c，求得P的坐標(biāo)，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，化簡(jiǎn)整理可得D的坐標(biāo)，由條件解方程可得a=2，進(jìn)而得到橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)．

解答 解：由題意可得A（a，0），F(xiàn)（c，0），
即有c=$\sqrt{{a}^{2}-2}$，
令x=c，可得y=±$\sqrt{2}$$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{2}{a}$，
可得P（$\sqrt{{a}^{2}-2}$，$\frac{2}{a}$），
由AP⊥PD，可得
k_AP•k_PD=-1，
即$\frac{\frac{2}{a}}{\sqrt{{a}^{2}-2}-a}$•$\frac{-\frac{2}{a}}{{x}_{D}-\sqrt{{a}^{2}-2}}$=-1，
解得x_D=$\sqrt{{a}^{2}-2}$-$\frac{4}{{a}^{2}（a-\sqrt{{a}^{2}-2}）}$，
由|DF|=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，可得
$\sqrt{{a}^{2}-2}$-x_D=$\frac{4}{{a}^{2}（a-\sqrt{{a}^{2}-2}）}$=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，
即為a²[（a²-（a²-2）]=8，
即a²=4，解得a=2．
則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，注意運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．