Question

8．已知橢圓$M：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點到直線$x=\frac{a^2}{c}$的距離為3，圓N的方程為（x-c）²+y²=a²+c²（c為半焦距），
（1）求橢圓M的方程和圓N的方程．
（2 ） 若直線l；y=kx+m是橢圓M和圓N的公切線，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）運用離心率公式和點到直線的距離公式，解方程可得a=2，c=1，求得b，即可得到橢圓方程；
（2）運用直線和橢圓方程相切的條件：判別式為0，以及直線和圓相切的條件：d=r，解方程可得k，m，進而得到所求直線的方程．

解答 解：（1）由題意知$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ \frac{a^2}{c}-c=3\end{array}\right.$，
解得a=2，c=1，即有$b=\sqrt{3}$，
可得橢圓M的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
圓N的方程為（x-1）²+y²=5；
（2）直線l：y=kx+m與橢圓M相切只有一個公共點，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
即有△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，
得m²=3+4k²①，
直線l：y=kx+m（k＞0）與圓N相切只有一個公共點，
得$\frac{{|{k+m}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{5}$，即2km+m²=5+4k²②，
由①②得km=1③，
由①③解得$k=\frac{1}{2}，m=2$或$k=-\frac{1}{2}，m=-2$，
則直線l：$y=\frac{1}{2}x+2$或$y=-\frac{1}{2}x-2$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點到直線的距離公式，考查直線的方程的求法，注意運用直線和橢圓相切的條件：判別式為0，以及直線和圓相切的條件：d=r，考查運算能力，屬于中檔題．