Question

設(shè)F為圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，P是圓錐曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則定義PF為圓錐曲線(xiàn)的焦半徑．下列幾個(gè)命題
①平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓
②平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)
③平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn)
④以橢圓的焦半徑為直徑的圓和以長(zhǎng)軸為直徑的圓相切
⑤以?huà)佄锞�(xiàn)的焦半徑為直徑的圓和y軸相切
⑥以雙曲線(xiàn)的焦半徑為直徑的圓和以實(shí)軸為直徑的圓相切
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線(xiàn)的實(shí)際背景及作用

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用橢圓，雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的定義，即可得出結(jié)論．

解答： 解：①平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓，如果距離之和對(duì)于零點(diǎn)的距離，軌跡表示的是線(xiàn)段，不表示橢圓，所以①不正確；
②平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離之差絕對(duì)值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)，這個(gè)常數(shù)必須小于兩點(diǎn)的距離，此時(shí)是雙曲線(xiàn)，否則不正確，所以②不正確；
③當(dāng)定點(diǎn)位于定直線(xiàn)時(shí)，此時(shí)的點(diǎn)到軌跡為垂直于直線(xiàn)且以定點(diǎn)為垂足的直線(xiàn)，只有當(dāng)點(diǎn)不在直線(xiàn)時(shí)，軌跡才是拋物線(xiàn)，所以③錯(cuò)誤；
④設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)、F'分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，
作出以線(xiàn)段PF為直徑的圓和以長(zhǎng)軸為直徑的圓x²+y²=a²，如圖所示．
設(shè)PF中點(diǎn)為M，連結(jié)PF′，
∴OM是△PFF′的中位線(xiàn)，可得|OM|=|PF′|，即兩圓的圓心距為

1

2

|PF′|
根據(jù)橢圓定義，可得|PF|+|PF′|=2a，
∴圓心距|OM|=

1

2

|PF′|=

1

2

（2a-|PF|）=a-

1

2

|PF|，
即兩圓的圓心距等于它們半徑之差，
因此，以PF為直徑的圓與以長(zhǎng)半軸為直徑的圓x²+y²=a²相內(nèi)切．即④正確；
⑤拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

p

2

，0），設(shè)點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），
則以PF為直徑的圓的圓心是（

2x1+p

4

，

y1

2

），
根據(jù)拋物線(xiàn)的定義|PF|與P到直線(xiàn)x=-

p

2

是等距離的，
所以PF為直徑的圓的半徑為

2x1+p

4

，因此以PF為直徑的圓與y軸的位置關(guān)系相切，即⑤正確；
⑥設(shè)以實(shí)軸|F₁F₂|為直徑的圓的圓心為O₁，其半徑r₁=a，
線(xiàn)段PF₂為直徑的圓的圓心為O₂，其半徑為r₂=

|PF2|

2

，
當(dāng)P在雙曲線(xiàn)左支上時(shí)，|O₁O₂|=

|PF1|

2

，
∵|O₁O₂|-r₂=

|PF2|

2

-

|PF1|

2

=a=r₁，∴兩圓內(nèi)切．
當(dāng)P在雙曲線(xiàn)右支上時(shí)，|O₁O₂|=

|PF1|

2

，
∵|O₁O₂|-r₂=

|PF1|

2

-

|PF2|

2

=a=r₁，∴r₁+r₂=|O₁O₂|
∴兩圓外切．故⑥正確
故答案為：④⑤⑥．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，圓錐曲線(xiàn)的定義的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．