Question

6．菱形ABCD的邊長為3，AC與BD交于O，且∠BAD=60°．將菱形ABCD沿對角線AC折起得到三棱錐-ADC（如圖），點M是棱C的中點，DM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
（1）求證：OD⊥平面ABC
（2）求三棱錐M-ABD的體積．

Answer 1

分析 （1）先證明OD⊥OM，OD⊥AC，結合OM∩AC=O，由線面垂直的判定得OD⊥平面ABC；
（2）判斷OD為三棱錐D-ABC的高，求出△ABM，然后求解三棱錐的體積．

解答 （Ⅰ）證明：由題意，OM=OD=$\frac{3}{2}$，
∵DM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴∠DOM=90°，OD⊥OM．
又∵ABCD是菱形，∴OD⊥AC．
∵OM∩AC=O，
∴OD⊥平面ABC；
（2）解：三棱錐M-ABD的體積等于三棱錐D-ABM的體積．
由（1）知，OD⊥平面ABC，
∴OD=$\frac{3}{2}$為三棱錐D-ABM的高．
△ABM的面積為$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，
∴所求體積等于$\frac{1}{3}$×$\frac{9\sqrt{3}}{8}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{16}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，考查基本知識的靈活運用，邏輯推理能力與計算能力，是中檔題．