Question

2．已知f（x）=log₂（2^x+a）的定義域為（0，+∞）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=log₂（2^x+1），且關于x的方程f（x）=m+g（x）在[1，2]上有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，根據(jù)條件建立方程進行求解即可，
（2）利用參數(shù)分離法進行分類，然后利用復合函數(shù)的單調(diào)性之間的關系，構造函數(shù)求出函數(shù)的值域即可得到結論．

解答 解：（1）由2^x+a＞0得2^x＞-a，即x＞log₂（-a），即函數(shù)的定義域為（log₂（-a），+∞）．
∵函數(shù)的定義域為（0，+∞），
∴l(xiāng)og₂（-a）=0，則-a=1，則a=-1．
（2）當a=-1時，f（x）=log₂（2^x-1），
由f（x）=m+g（x）得m=f（x）-g（x）=log₂（2^x-1）-log₂（2^x+1）
=log₂（$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$）=log₂（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），
令h（x）=log₂（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），
則h（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
當x=1時，h（x）取得最小值h（1）=log₂$\frac{1}{3}$，
當x=2時，h（x）取得最大值h（2）=log₂$\frac{3}{5}$，
則h（x）∈[log₂$\frac{1}{3}$，log₂$\frac{3}{5}$]，
則要使方程f（x）=m+g（x）在[1，2]上有解，
則m∈[log₂$\frac{1}{3}$，log₂$\frac{3}{5}$]．

點評 本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的定義域求出a的值，以及利用復合函數(shù)單調(diào)性之間的關系進行轉化是解決本題的關鍵．